Multiplos y divisores

¿Que aprenderás en esta clase?
  • 1. Números Primos: los átomos de los números
  • 2. Máximo Común Divisor
  • 3. Mínimo Común Multiplo


1. Números Primos: los átomos de los números

Cada persona que conocemos es diferente. Sin embargo, todas las personas está formadas por combinaciones de las mismas partículas elementales, que llamamos "átomos". De igual manera, cada número natural es diferente, pero todos están formados por combinaciones de ciertos números elementales. A estos números elementales que permiten construir todos los números naturales se les llama números primos.

Un número natural es divisible por otro si la división es exacta (el resto es cero). Los números primos sólo son divisibles por ellos mismos y por la unidad. Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,..., son números primos.

Todo número natural se puede expresar como producto de números primos. La descomposición en números primos es única (unicidad).

Ejemplo 1: El número 6 está "formado" a partir de los números primos 2 y 3, ya que 6 = 2 x 3; Por lo tanto, el número 6 es divisible entre 2 y entre 3.

Ejemplo 2: El número 85 está "formado" a partir de los números 5 y 17, ya que el número 85 = 5 x 17; Por lo tanto, el número 85 es divisible entre 5 y 17.

Todo número natural acepta como divisores a los números primos de los que se compone. Para descomponer un número en factores primos basta recordar las reglas de la divisibilidad. Un número es divisible por:

2 ---- si termina en cero o en cifra par (por ejemplo: 26, 38, 120)
3 ---- si la suma de sus dígitos es múltiplo de tres (por ejemplo: 21, 585)
5 ---- si termina en cero o en cinco (por ejemplo: 30, 325)

Ejemplo: Descomponer en factores primos el número 420.
Buscamos divisores de 420 que sean primos:


La descomposición en factores primos es fundamental para simplificar fracciones.

Ejemplo: Simplificar 420 / 165

420 = 22 x 3 x 5 x 7;
165 = 3 x 5 x 11

420/165 = (22 x 3 x 5 x 7) / (3 x 5 x 11) = (22 x 7 ) / 11 = 28/11



2. Máximo Común Divisor

El mayor de los divisores comunes a varios números se llama Máximo Común Divisor, MCD. La regla práctica para calularlo es la siguiente:

1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes elevados al menor exponente.
3. Se multiplican esos factores.

Ejemplo 1: Obtener el Máximo Común Divisor, MCD, de los números 42 y 70. Expresando 40 y 150 en factores primos se obtiene:

42 = 2 x 3 x 7; 70 = 2 x 5 x 7
MCD (42, 70) = 2 x 7 = 14

Ejemplo 2: Se desea colocar baldosas cuadradas de cerámica en el piso de una habitación cuyas dimensiones son 2,70 m por 3,40 m. Si se quiere evitar cortar la cerámica, ¿qué formato conviene elegir?.

El formato de la cerámica debe ser divisor común de las dos dimensiones para evitar tener que cortarla. Si se quiere minimizar el trabajo de la colocación, su tamaño debe ser el más grande posible. Por lo tanto, el lado de la cerámica debe ser el Máximo Común Divisor, MCD, de las dos dimensiones de la habitación:

270 = 2 x 33 x 5
340 = 22 x 5 x 17

MCD (270, 340) = 2 x 5 = 10

Luego, conviene elegir cerámica de formato 10 x 10 cm2



3. Mínimo Común Multiplo

Un número es múltiplo de otro si al dividirlo por este número su división es exacta. Al menor de los múltiplos comunes a varios números se le llama Mínimo Común Multiplo, MCM. La regla práctica para calcularlo es la siguiente:

1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.
3. Se multiplican esos factores.

Ejemplo 1: Cuatro lámparas se encienden simultáneamente a las 12 pm, y duran encendidas 5 minutos. La primera se enciende intermitentemente cada 2 horas, la segunda cada 3, la tercera cada 4 y la cuarta cada 5 horas. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se vuelvan a encender todas las lámparas simultáneamente?

Se volverán a encender todas en un tiempo que será multiplo delos tiempos de intermitencia de cada lámpara: MCM (2, 3, 4, 5) = 60 horas.

En algunas ocasiones se requiere hallar un número tal que, al ser dividido entre otros números, dé siempre un cierto resto. Este tipo de problemas es similar al anterior, únicamente hay que tener en cuenta que al Mínimo Común Multiplo MCM hay que sumarle un cierto número (el resto dado).

Ejemplo 2: Si se cuentan de dos en dos los huevos de una cesta sobre uno. Lo mismo pasa si se cuentan de tres en tres, de cinco en cinco, o de siete en siete. ¿Cuál es el menor número de huevos que puede haber en la cesta?.

El número de huevos al ser dividido por 2, por 3, por 5, por 7 da siempre de resto la unidad. Esto quiere decir que si se tuviera un huevo menos, el número de huevos sería divisible por 2, 3, 5, 7.

Es decir, sería el MCM (2, 3, 5, 7) = 210. Por lo tanto, el número de huevos será: MCM + 1 = 210 + 1 = 211.


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